Logika Matematika

  

Logika matematika

 

LOGIKA MATEMATIKA/TABEL KEBENARAN adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis.

KONJUNGSI

Pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan" atau disimbolkan dengan "∧". Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar, jika kedua pernyatan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.

P	Q	P ∧ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

DISJUNGSI

Pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau" yang disimbolkan dengan "v". Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.

P	Q	P V Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

INGKARAN ( NEGASI )

Pernyataan yang isinya mengingkari sesuatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang"~" yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan benar, maka negasinya adalah salah.

P	~P
B	S
B	S
S	B
S	B

IMPLIKASI

Pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung "maka" yang disimbolkan dengan "→ ". Misal p → q dibaca jika p maka q.

P	Q	P → Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

BIIMPLIKASI

Bentuk kompleks dari implikasi yang berarti "jika dan hanya jika" dan disimbolkan dengan "↔ ". Misal p ↔ q dibaca p jika dan hanya jika q.

P	Q	P ↔ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh Soal 

Buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut :

1. P ∧ ( P v Q )
2. P ∧ ( ( R v Q ) ↔ R )
3. ~ ( P ∧ Q )
4. ( P ∧ Q ) ↔ R 

Penyelesaian

Negasi ~p

Pernyataan negasi merupakan pernyataan yang menyangkal pernyataan awal, atau lawan dari pernyataan awal. Untuk membuat tabel kebenaran dari pernyataan negasi, terlebih dahulu kita buat tabel kebenaran untuk nilai kebenaran pernyataan asalnya. Pernyataan asal (p) dapat bernilai salah atau benar. Maka tabel nilai kebenaran dari pernyataan p adalah:

 

p

B

S

Bila p bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah, karena ~p menyangkal kebenaran di p. Jika p salah, ~p bernilai benar. Tabel kebenaran untuk negasi mendeskripsikan nilai kebenaran yang diberikan oleh ~p. Baris pertama pada tabel kebenaran dibaca "~p salah bila p benar", sedang baris kedua dibaca "~p benar saat p salah."

p	~p
B	S
S	B

Konjungsi p^q

Konjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'dan.' Kalimat majemuk "Burhan seorang dokter dan kader partai golkar" adalah sebuah konjungsi dengan representasi simbol sebagia berikut.

p : Burhan seorang dokter

q : Burhan kader partai demokrat

p^q : Burhan seorang dokter dan kader partai demokrat.

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk bergantung dari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan yang menyusunnya. Berapa banyak baris yang dibutuhkan dalam tabel kebenaran konjungsi p^q? Karena p memiliki dua kemungkinan, demikian pula dengan q, kombinasi kemungkinan-kemungkinan itu ada 4 (2.2).

p	q
B	B
B	S
S	B
S	B

Suatu konjungsi p^q benar bila masing-masing pernyataan-pernyataan yang menyusunnya benar, kombinasi selain itu bernilai salah. Simbol p maupun q dapat merepresentasikan pernyataan apa saja. Pernyataan majemuk p dan q bergantung pada nilai kebenaran masing-masing p dan q. Misalnya konjungsi p^q salah ketika p salah dan q benar. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi p^q selengkapnya.

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Disjungsi pvq

Disjungsi menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung logika 'atau'. Pernyataan majemuk "Burhan adalah seorang dokter atau kader partai golkar" merupakan disjungsi (atau inklusif) dengan presentasi simbolisnya:

p : Burhan seorang dokter

q : Burhan kader partai golkar

pvq : Burhan seorang dokter atau kader partai golkar.

Walaupun dalam kenyataan Burhan yang seorang dokter bukan kader partai golkar, disjungsi pvq diatas tetap bernilai benar. Disjungsi bernilai benar bila paling tidak terdapat satu pernyataan penyusunnya yang bernilai benar. Disjungsi salah bila nilai kebenaran setiap penyusunnya salah. 

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Kondisional p -> q

Kondisional merupakan pernyataan majemuk dalam bentuk 'jika p maka q' yang disimbolkan p -> q. Bagaimanakah kebenaran kondisional? Perhatikan kalimat 'Jika kamu memberi Rp. 20.000,- padaku, akan kubelikan tiket konser untukmu.' Representasi simbolis dari kalimat tersebut adalah sebagai berikut:

p : Kamu memberiku Rp. 20.000,-

q : Aku membelikan tiket konser untukmu.

p -> q : Jika kamu memberiku Rp 20.000,-, Aku akan membelikan tiket konser untukmu.

Kondisional dapat dipandang sebagai sebuah janji. Anggap kamu benar-benar memberiku 20 ribu, maka aku akan mempunyai dua opsi, apakah membelikan atau tidak. Bila aku membelikan (q = B) maka pernyataan tersebut benar. Tetapi bila aku tidak membelikan (q = S) maka kalimat tersebut salah. Situasi ini dapat digambarkan sebagai berikut.

p	q	p->q
B	B	B
B	S	S
S	B	?
S	S	?

Lalu bagaimana bila kamu tak memberiku 20 ribu? p = S? Tentu apakah aku akan memberimu tiket atau tidak, p -> q tidak salah. Karena janji hanya dipenuhi bila p benar. Karena p -> q tidak salah, maka bila p salah secara langsung membuat nilai kebenaran p -> q benar. Tabel kondisional yang lengkap adalah sebagai berikut.

p	q	p->q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Ekspresi yang ekuivalen

Saat kamu membeli mobil, mobil tersebut bisa baru maupun lama. Sales akan mengatakan "Tentu tidak benar mobil ini bukan mobil baru."  Kalimat majemuk ini memiliki satu kalimat pernyataan (Mobil ini baru) dan dua negasi.

"Tentu tidak benar"   "Mobil ini bukan mobil baru"

            ~                                ~p

Apakah ini berarti mobil tersebut baru? Untuk mengetahui kebenarannya, kita dapat mengkonstruksikan tabel kebenaran untuk ekspresi logika ~(~p) dan membandingkannya dengan p. Karena hanya ada satu pernyataan tunggal, maka kita hanya perlu 2 baris dalam tabel. Kita akan memiliki kolom p, ~p dan ~(~p). ~p memberikan nilai berkebalikan dengan p. Sedang ~(~p) memberikan nilai berkebalikan dengan ~p. Maka tabelnya akan menjadi seperti berikut.

p	~p	~(~p)
B	S	B
S	B	S

Perhatikan bahwa kolom ketiga ~(~p) memiliki nilai kebenaran identik dengan p. Bila seperti ini, maka ~(~p) dikatakan ekuivalen dengan p. Artinya, makna pernyataan keduanya sama. Ekspresi yang ekuivalen adlaah ekspresi simbolik yang memiliki nilai kebenaran yang identik satu sama lain. Ekspresi p  q dibaca p ekuivalen dengan q atau p dan q ekuivalen. Dari tabel diatas kita dapatkan bahwa ~(~p) ekuivalen dengan p, dapat kita tuliskan p ~(~p).

CONTOH:

Apakah pernyataan "Jika saya pemilik rumah, saya yang membayar pajak bumi dan bangunan" dan pernyataan "Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan bangunan" ekuivalen?

PENYELESAIAN:

Kita mulai dengan memberikan representasi simbolis dari pernyataan-pernyataan diatas.

p         : Saya pemilik rumah

q          : Saya membayar pajak bumi dan bangunan

p -> q : jika saya pemilik rumah, saya membayar pajak bumi dan bangunan.

p^~p : Saya pemilik rumah dan saya tidak membayar pajak bumi dan bangunan.

Tabel kebenaran untuk kasus ini akan memuat empat baris. Tabel yang akan kita gunakan seperti dibawah ini.

p	q	~q	p^~q	p -> q
B	B
B	S
S	B
S	S

Sekarang kita tinggal memberikan nilai kebenaran yang sesuai pada masing-masing kolom. Kolom ~q, akan kita isi dengan nilai kebenaran kebalikan dari kolom q. Kolom berikutnya isi B di baris kedua dan S di baris lain, karena konjungsi mensyaratkan nilai kebenaran B untuk setiap faktornya. Sedang pada kolom terakhir, karena kondisional hanya salah bila p benar dan q salah, maka isikan baris kedua dengan S dan B pada baris lain.

p	q	~q	p^~q	p -> q
B	B	S	S	B
B	S	B	B	S
S	B	S	S	B
S	S	B	S	B

Karena nilai-nilai kebenaran di kolom p^~q tidak sama dengan p -> q, kedua pernyataan tersebut tidak ekuivalen. Perhatikan bahwa p^~q dan p -> q memiliki nilai-nilai kebenaran yang tepat berkebalikan. Bila hal ini terjadi pada dua pernyataan, pernyataan majemuk yang satu merupakan negasi dari pernyataan majemuk yang lain. Konsekuensinya, p^~q merupakan negasi dari p -> q. Hubungan ini dapat diekspresikan dengan p^~q  ~(p -> q). Negasi dari sebuah kondisional ekuivalen dengan konjungsi premis dan negasi konklusinya.

Pernyataan yang terlihat berbeda dalam kenyataan mungkin memiliki maksud yang sama. Ketika kita memiliki dua pernyataan yang ekuivalen, kita dapat mengganti satu sama lain tanpa mengubah maknanya. Faktor emosi yang mempengaruhi pemilihan pernyataan kita pada prakteknya. Bukan pada maknanya.

Aturan De Morgan

Sebelumnya, kita mendapatkan bahwa p ~(~p). Aturan negasi yang lain yang sudah kita ketahui adalah p^~q ~(p -> q), yang merupakan negasi dari sebuah kondisional. Apakah kita dapat menemukan formula yang identik, yakni negasi, pada pernyataan majemuk lain, yakni disjungsi dan konjungsi? Jawabannya adalah iya, yakni yang dikemukakan oleh matematikawan logika asal Inggris Augustus de Morgan.

Aturan de Morgan, begitu formula-formula negasi konjungsi dan disjungsi disebut, adalah sebagai berikut.

Negasi dari sebuah konjungsi diberikan oleh ~(p ^ q)  ~p v ~q

Negasi dari sebuah disjungsi diberikan oleh ~(p v q)  ~p ^ ~q